UNIVERSIDAD CATÓLICA DE  CUENCA

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

Física Tercer Trimestre 

Movimiento Lineal, Rotación de un Cuerpo Rígido, Equilibrio y 

Elasticidad

ALUMNA: Cira Vele
PROFESOR: Ing. Eléctrico Juan Carlos Cobos





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El momento lineal de una partícula

El momento lineal p de una partícula es la cantidad vectorial igual al producto de la m de la partícula y la velocidad v. La segunda ley de Newton dice que la fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la tasa de cambio del momento lineal de la partícula.
p = mv (Momento Lineal)


∑ F= dp/dt

Impulso y momento Lineal

Si una fuerza neta constante ∑F actúa sobre una partícula durante un intervalo de tiempo variación del tiempo de t1 a t2, el impulso J de la fuerza neta es el producto de el tiempo, J es la integral de la fuerza neta en el intervalo del tiempo. En cualquier caso, cambio del momento lineal de una partícula durante el intervalo del tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre tal partícula durante ese intervalo. El momento lineal de una partícula es igual al impulso que la acelero desde el reposo hasta su rapidez actual.

→

J  = ∑ F (t2 – t1)=∑F∆t

→

J  =∫ ∑ F dt

→  →  →

J=  p2 – p 1

Relación entre Impulso y Cantidad de Movimiento

El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso también puede calcularse como:

→

J  =∆p

Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa:

F∆t =∆p

Conservación del momento lineal

Una fuerza interna es una fuerza que ejercida por una parte de un sistema sobre otra. Una fuerza externa es una fuerza ejercida sobre cualquier parte del sistema por algún elemento externo del sistema.

Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema es cero, el momento lineal total P (la vectorial de los momentos lineales de las partículas que constituyen el sistema) es constante, esto es se conserva. Cada componente del movimiento lineal total se conserva individualmente.

→  →   →     →
P=  p1  + p2  +   p  n+……

 = m1 v1 + m2 v2+……

Si ∑ = 0, entonces P = constante

La masa total de un sistema multiplicada por la velocidad del centro de masas es igual a la cantidad de movimiento lineal total del sistema P=MV_cm.

Choques

En todo tipo de choques, lo momentos lineales totales inicial y final son iguales. En un choque elástico entre dos cuerpos, las energías cinéticas totales inicial  y final también son iguales a las velocidades relativas inicial y final tienen la misma magnitud. En el choque inelástico entre dos cuerpos, la energía cinética total es menor que la inicial. Si los cuerpos tienen la misma velocidad final el choque es totalmente inelástico.

En un choque elástico se cumple que la suma de las energías cinéticas de los cuerpos involucrados es constante. Sin embargo, tras un choque totalmente inelástico, ambos cuerpos tienen la misma velocidad; la suma de sus energías cinéticas es menor que la inicial porque una parte de esta se ha transformado en energía interna (calentamiento).

El momento total de los cuerpos involucrados se conserva, independientemente de que el choque sea elástico o inelástico. El movimiento del centro de masas (indicado por un punto amarillo) no se ve afectado por el proceso de colisión.

EJEMPLO DE CALCULO DE CHOQUES 

En caso de que la energía cinética se conserve el choque se dice elástico mientras que si la energía cinética no se conserva el choque se llama inelástico.

Impulso y promedio temporal de una fuerza


El impulso de la fuerza resulta así igual al cambio en la cantidad de movimiento en cada una de las partículas. A partir de esta expresión puede estimarse entonces la fuerza promedio que actua durante el choque si hacemos


F_m=J/dt

Centro de masa

El vector de posición del centro de masa de un sistema de partículas, r cm     es un promedio ponderado de las posiciones  r 1 , r 2 …de partículas. El momento lineal total P  de un sistema es igual a su masa total M  multiplicada por la velocidad v cm       de su centro de masa. El centro de masa de un sistema se mueve como si toda la masa  M estuviera concentrada en ese punto. Si la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema es cero, el centro de masa v cm       es constante. Si la fuerza externa neta no es cero, el centro de masa se acelera como si fuera una partícula de masa M sobre la que actúa la misma fuerza externa neta.

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve bajo la acción de una fuerza neta resultante como lo haría una única partícula de masa igual a la masa total del sistema de partículas colocada en esa posición según la segunda ley de Newton F_neta=MA_cm

Velocidad del centro de masas

La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posición:

Aceleración del centro de masas

Al actuar fuerzas internas y externas en un sistema se genera aceleración en el cuerpo esto quiere decir que se genera aceleración en el centro de masa.

El Sistema de Referencia del Centro de Masas

Para un sistema de dos partículas

La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es:

La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es:

Para calcular la aceleración cm aplicamos la segunda ley de newton.

ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS

El movimiento de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, consiste en que el cuerpo traza una trayectoria circular con centro en el eje de giro, y en cada rotación de 360° (revolución) dos puntos cualesquiera del cuerpo trazan círculos concéntricos.

Modos de movimiento de un cuerpo rígido

Traslación	En este caso el cuerpo rígido se traslada, de modo que en cada instante las partículas que lo forman, tienen la misma velocidad y aceleración.
Rotación	El cuerpo rígido está en rotación, cuando cada partícula que lo integra, se mueve respecto a un eje con la misma velocidad angular y aceleración angular en cada instante.
General	En este caso tendremos una combinación de los dos anteriores, es decir una rotación y traslación que puede ser estudiado como una traslación y rotación del centro de masa que lo representa más una rotación respecto al centro de masa.

Cinemática de Rotación

Cuando un cuerpo rigido gira sobre un eje fijo, su posición esta descrita por una coordenada angular ɸ.

Velocidad y aceleración angulares

Al analizar el movimiento rotacional, pensemos primero en cuerpo rigido que gira sobre el eje fijo, es decir que esta en reposo en algún marco. el cuerpo podría ser un flecha de motor un trozo de sado en una brocheta o un carrusel.

Velocidad angular de un cuerpo (ω)

Se expresa como el movimiento de rotacion en todo un eje, que tambien se puede expresar como la variacion de desplazamiento angular que ocurre en una unidad de tiempo

rad/s

grados/s

rev/s = (rps)

rev/min = (rpm)

Aceleración angular

La aceleración angular de un cuerpo en movimiento de rotación en torno a un eje es la variación que experimenta su velocidad angular en unidad de tiempo se expresa en radianes por segundo cada segundo. Si la velocidad angular de un cuerpo varia uniformemente tenemos entonces la siguiente ecuación:

         α (rad/s² ) =( rad/s) / t

                         = (ωf - ωo) / t

                         ω(rad/s) velocidad angular promedio

                         rad/s² = radianes por segundo, cada segundo                                  α= aceleración angular

ωo= velocidad angular inicial ωf= velocidad angular final

t= tiempo

P1=P2

P1>P2

P1

Distancia   S= θ

En términos de movimiento rotacional

S= longitud de arco

Velocidad rotacional

V=ωr

V= velocidad lineal

a=αr

a= aceleracion lineal

θ= radianes

ω= rad/s

α= rad/s²

MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUES  (τ)

Para hacer rotar el cuerpo, no sólo interesa la fuerza aplicada, sino donde se aplica. Esto nos lleva a la definición de nuevos conceptos.

Se define el TORQUE ( τG) ( palabra del latín torquere, torcer) con respecto a un punto 0  como el producto vectorial o producto cruz de los vectores  r y F G G.También se le llama  momento de una fuerza   y viene dada por la expresión:

τo = r ×F con τo = r F senθGGG

τo = Fb

MOMENTO DE INERCIA O INERCIA ROTACIONAL 

Para  definir  este  concepto  analicemos  un  cuerpo    rígido  el  cual  para  un  instante " t " está  rotando 

alrededor de un eje con velocidad angular  ωG.

Cada partícula que forma el cuerpo tiene una cierta energía cinética. 

Se le ha designado con la letra  I  ; se le llama momento de inercia o  inercia rotacional del sistema de partículas con respecto del eje de rotación considerado. 

Podemos entonces decir que el  momento de inercia de una partícula de masa m  respecto de un punto O viene dado por : 

               Io  =  m. r 

^{COMO CALCULAR LA ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS} 

EQUILIBRIO Y ELASTICIDAD

EQUILIBRIO Y ELASTICIDAD

Condiciones de equilibrio

1.- LA SUMA RESULTANTE DE SUS FUERZAS DEBEN SER CERO

2.- LA SUMA DE LAS TORCAS CON RESPECTO A CUALQUIER PUNTO DEBE SER CERO.

La torca debida al peso de un cuerpo se calcula suponiento que todo el peso se concentra en el centro de gravedad, que está en el mismo punto que el centro de masa si g tiene el mismo valor en todos los puntos.

Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslacional si y sólo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. En este caso, Rx como Ry debe ser cero; es la condición para que un cuerpo esté en equilibrio:

Ejemplo

Centro de Gravedad

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar situado fuera de él. Donde M es la masa total del sistema de partículas.

 

ESFUERZO, DEFORMACIÓN Y MÓDULOS DE ELASTICIDAD 

ESFUERZO/ DEFORMACIÓN = MODULO DE ELASTICIDAD (Ley de Hooke)

Esfuerzo y Deformación de Tensión y compresión

El esfuerzo de tensión en la sección transversal como el cociente de la F y el área de la sección transversal A.

Esfuerzo de tensión = F/A  

La unidad del esfuerzo en el Pascal                  1 pascal= 1 Pa = 1N/m2 

La deformación por tensión del objeto es igual al cambio fraccionario de longitud, que es el cociente del alargamiento ∆l entre la longitud original l0 

Deformación por tensión = l - l0  / l0 =  ∆l/ l0

El modulo de elasticidad correspondiente se denomina módulo de Young y se denota con Y.

Y= Esfuerzo de tensión / Deformación por tensión = (F/A)/(∆l/ l0 )= F/A . ∆l/ l0

EJERCICIOS

ESFUERZO Y DEFORMACIÓN DE CORTE

El esfuerzo de corte es la fuerza por unidad de área, F/A, para una fuerza aplicada tangente a una superficie. La deformación por un corte es el desplazamiento x de un lado dividido entre la dimensión transversal  h. El módulo de elasticidad se llama módulo de corte S.

Esfuerzo de corte = F/A                                                            Deformación por corte = x/h

El modulo de elasticidad correspondiente se denomina modulo de corte y se denota con S.

S= Esfuerzo de corte / Deformación de corte = F/A / x/h = F / A . h/x


TUTORIAL

Los limites de la ley de Hooke.- El limite proporcional es el esfuerzo máximo para que el esfuerzo y la deformación son proporcionales. Más allá del limite proporcional, la ley de Hooke no es valida. El límite elástico es el esfuerzo a partir del cual se presenta una deformación irreversible. El esfuerzo de rotura o resistencia limite, es el esfuerzo en el que el material se rompe.